Question

已知函数f(x)=

3

sinxcosx+cos2x-

1

2

，x∈R
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）作出函数在一个周期内的图象．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式和两角和的正弦公式，将函数f（x）化简为y=Asin（ωx+φ）型函数，最后利用周期计算公式求其周期，最后将内层函数置于外层函数的单调增区间上即可解得函数f（x）的单调增区间；
（2）将内层函数看作整体，利用五点作图法，先列表，再描点连线画出函数在一个周期上的图象

解答：解：（1）f(x)=

3

sinxcosx+cos2x-

1

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin(2x+

π

6

)
∴最小正周期为

2π

2

=π．
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，则-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
所以函数的单调递增区间是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ](k∈Z)
（2）列表

2x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
x	- π 12	π 6	5π 12	2π 3	11π 12
f（x）	0	1	0	-1	0

画图象如图：

点评：本题主要考查了三角变换公式在化简中的应用，y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，五点作图法画函数图象的方法，属基础题