Question

如图，在四棱锥中，底面是矩形，分别为的中点，，且

（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值。

Answer 1

（1）以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为轴、轴、轴正半轴建立空间直角坐标系则D（0，0，0），A（，0，0），B（，1，0）（0，1，0）P（0，0，）
所以（，0，），，∵·=0，所以MC⊥BD（2）

试题分析：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥DA，PD⊥DC，
在矩形ABCD中，AD⊥DC，
如图，以D为坐标原点，
射线DA，DC，DP分别为
轴、轴、轴
正半轴建立空间直角坐标系    4分
则D（0，0，0），A（，0，0），
B（，1，0）（0，1，0），
P（0，0，）     6分
所以（，0，），，  7分∵·=0，所以MC⊥BD          7分
（2）解：因为ME∥PD，所以ME⊥平面ABCD，ME⊥BD，又BD⊥MC，
所以BD⊥平面MCE,
所以CE⊥BD，又CE⊥PD，所以CE⊥平面PBD，       9分
由已知，所以平面PBD的法向量  10分
M为等腰直角三角形PAD斜边中点，所以DM⊥PA，
又CD⊥平面PAD，AB∥CD，所以AB⊥平面PAD，AB⊥DM，
所以DM⊥平面PAB，          11分
所以平面PAB的法向量（-，0，）      12分
设二面角A—PB—D的平面角为θ，
则.
所以，二面角A—PB—D的余弦值为.        15分
点评：本题中充分利用DA，DC，DP两两垂直建立空间直角坐标系，将证明两线垂直转化为两直线的法向量垂直，将求二面角转化为求两个平面的法向量的夹角