题目内容

已知函数 $数学公式$ ，若f（x）的最大值为1
（1）求m的值，并求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边a、b、c，若f（B）= $数学公式$ -1，且 $数学公式$ a=b+c，试判断三角形的形状．

解：∵（1）函数 $\text{[math]}$ =2sin2xcos $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ cos2x-m=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）-m．
f（x）的最大值为1，故有 2-m=1，∴m=1．
令 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，可得 kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，
故函数的增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
（2）在△ABC中，∵f（B）= $\text{[math]}$ -1，∴2sin（2B+ $\text{[math]}$ ）-1= $\text{[math]}$ ，即 sin（2B+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，∴B= $\text{[math]}$ ．
又 $\text{[math]}$ a=b+c，∴ $\text{[math]}$ sinA=sinB+sinC= $\text{[math]}$ +sin（ $\text{[math]}$ -A），化简可得 sin（A- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，∴A= $\text{[math]}$ ，C= $\text{[math]}$ ，
故△ABC为直角三角形．
分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）-m，由f（x）的最大值为1，求得m的值，从而求得函数的增区间．
（2）在△ABC中，由 f（B）= $\text{[math]}$ -1求得B的值，再由 $\text{[math]}$ a=b+c，可得 sin（A- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，从而求得 A的值，进而求得C的值，从而判断三角形的形状．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的单调性，根据三角函数的值求角，属于中档题．