题目内容

已知函数f(x)=ln
ex
e-x
，若
2012
k=1
f(
ke
2013
)=503(a+b)，则a2+b2的最小值为（　　）
分析：因为函数f（x）=ln
ex
e-x
，所以把x=
ke
2013
代入函数解析式中，结合和式及对数的性质，化简得到a与b的关系式，利用a表示出b，代入a2+b2中，得到关于a的二次函数，配方可得当a和b都为1时，a2+b2取得最小值，求出最小值即可．
解答：解：把x=
ke
2013
代入函数解析式中得：
f（
ke
2013
）=ln
e×
ke
2013
e-
ke
2013
=1+ln
k
2013-k
，
∴
2012
k=1
f(
ke
2013
)=（1+ln
1
2012
）+（1+ln
2
2011
）+…+（1+ln
2011
2
）+（1+ln
2012
1
）=2012，
∴2012=503（a+b），即a+b=4，解得：b=4-a，
则a2+b2=a2+（4-a）2=2a2-8a+16=2（a-2）2+8，
所以当a=2，b=2时，a2+b2的最小值为8．
故选B．
点评：此题考查对数函数图象与性质的综合应用，会利用二次函数的方程求式子的最值，是一道基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函数f（x）在P（0，f（0））的切线方程为y=5x+1，求实数a，b的值：
（2）当a＜3时，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．
已知函数f(x)=
1
2
x2-alnx的图象在点P（2，f（2））处的切线方程为l：y=x+b
（1）求出函数y=f（x）的表达式和切线l的方程；
（2）当x∈[
1
e
，e]时（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求实数k的取值范围．
已知函数f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a为常数），直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）的图象的切点的横坐标为1．
（1）求直线l的方程及a的值；
（2）当k＞0时，试讨论方程f（1+x2）-g（x）=k的解的个数．
已知函数f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设f（x）有两个极值点x1，x2，若过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线l与x轴的交点在曲线y=f（x）上，求a的值．
已知函数f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b为实数，x∈R，a∈R．
（1）当1＜a＜2时，若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；
（3）试讨论函数F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的极值点的个数．

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