Question

已知数列{a_n}满足a1=

1

2

，an=

an-1

(-1)nan-1-2

 (n≥2，n∈N)．
（1）试判断数列{

1

an

+(-1)n}是否为等比数列，并说明理由；
（2）设bn=

1

an2

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）对已知递推公式进行变形可构造得

1

an

+(-1)n=(-2)[

1

an-1

+(-1)n-1]，根据等比数列的定义可证
（2）由（1）可求a_n，代入可求b_n，，根据数列通项的特点可选用分组求和．

解答：解：（1）由an=

an-1

(-1)nan-1-2

 (n≥2，n∈N)
得：

1

an

=(-1)n-

2

an-1

，
∴

1

an

+(-1)n=(-2)[

1

an-1

+(-1)n-1]，
又∵a1=

1

2

，∴

1

a1

+(-1)=1，（6分）
∴数列{

1

an

+(-1)n}是首项为1，公比为-2的等比数列．
（2）由（1）的结论有

1

an

+(-1)n=1×(-2)n-1，
即

1

an

=(-2)n-1+(-1)n+1=(-2)n-1+(-1)n-1．
∴bn=

1

an2

=[(-2)n-1+(-1)n-1]2
=4^n-1+2•2^n-1+1=4^n-1+2ⁿ+1
Sn=

1•(1-4n)

1-4

+

1•(1-2n)

1-2

+n=

4n-4

3

+2n+n．（12分）

点评：本题主要考查了利用定义证明数列为等比数列及利用分组求和的方法在数列求和中的应用，属于综合试题．