Question

在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足（2b-c）cosA=acosC
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若|-|=1，求△ABC周长l的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）在△ABC中，∵（2b-c）cosA=acosC，
由正弦定理有：2（sinB-sinC）cosA=sinAcosC，…（2分）
∴2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，sinB（2cosA-1）=0，
∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA=，
∵0＜A＜π，
∴A=． …（6分）
（Ⅱ）由已知|-|=1，∴||=1，即a=1，
由正弦定理得：b==，c=，…（8分）
l=a+b+c=1+=1+
=1+2=1+2sin（B+）． …（10分）
∵A=，∴B，∴B+∈，∴sin（B+）∈（]，
故△ABC的周长l的取值范围是（2，3]． …（12分）
分析：（1）通过正弦定理以及三角形的内角和，求出SA的余弦值，然后求出A的大小．
（2）通过已知条件求出a的值，利用正弦定理求出b与c的值的表达式，利用周长以及两角和的正弦函数，集合B的范围求出△ABC周长l的取值范围．
点评：本题考查正弦定理的应用，两角和与差的三角函数的应用，考查转化思想，计算能力．