Question

已知函数f(x)=log

1

2

ax-2

x-1

（a为常数）．
（1）若常数a＜2且a≠0，求f（x）的定义域；
（2）若f（x）在区间（2，4）上是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由对数函数的性质知其真数必须大于0，对字母a进行分类讨论：当0＜a＜2时，当a＜0时，即可求得求f（x）的定义域；
（2）由题意知函数f（x）是由y=log

1

2

u和u=

ax-2

x-1

复合而来，由复合函数单调性结论，只要u（x）在区间在（2，4）上为增且为正即可．

解答：解：（1）由

ax-2

x-1

＞0，当0＜a＜2时，解得x＜1或x＞

2

a

，
当a＜0时，解得

2

a

＜x＜1．
故当0＜a＜2时，f（x）的定义域为{x|x＜1或x＞

2

a

}
当a＜0时，f（x）的定义域为{x|

2

a

＜x＜1}．
（2）令u=

ax-2

x-1

，因为f(x)=log

1

2

u为减函数，
故要使f（x）在（2，4）上是减函数，
则u=

ax-2

x-1

=a+

a-2

x-1

在（2，4）上为增且为正．
故有

a-2＜0 umin＞u(2)= 2a-2 2-1 ≥0

⇒1≤a＜2．
故a∈[1，2）．

点评：本题主要考查对数函数的定义域、复合函数的单调性和一元二次方程根的分布，整体思想是解决本类问题的根本．