Question

已知定义在区间（-1，1）上的函数f(x)=

ax+b

x2+1

为奇函数．且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）、求实数a、b的值．
（2）、求证：函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数．
（3）、解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析：（1）由“函数f（x）是奇函数”求，再结合f(

1

2

)=

2

5

求解．
（2）要求用定义，则先在给定的区间任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号．
（3）由f（t-1）+f（t）＜0．且f（x）为奇函数，得f（t）＜-f（t-1）=f（1-t），又函数f（x）是定义在区间（-1，1）上的增函数，故可求．

解答：解：（1）∵f（x）是在区间（-1，1）上的奇函数．

∴f(x)= x 1+x2

∴f(o)=b=o 又f( 1 2 )= a 2 +b 1+ 1 4 = 2 5

∴a=1…（4分）
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1则f(x1)-f(x2)=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

∴-1＜x₁＜x₂＜1∴x₁-x₂＜01-x₁x₂＞0（1+x₁²）（1+x₂²）＞0∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）∴f（x）在区间（-1，1）上是增函数．…（8分）
（3）∴f（t-1）+f（t）＜0．且f（x）为奇函数∴f（t）＜-f（t-1）=f（1-t）
又∴函数f（x）是定义在区间（-1，1）上的增函数．∴

t＜1-t -1＜t＜1 -1＜1-t＜1

∴0＜t＜

1

2

故关于t的不等式的解集为{t|0＜t＜

1

2

 }…（12分）

点评：本题主要考查应用奇偶性来求函数解析式，应用单调性定义来证明函数的单调性，还考查了综合运用奇偶性和单调性来解不等式的能力