题目内容

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆上，△POF2的面积为
3
的正三角形，则b2=
2
3
2
3
．
分析：由题意可得
3
=
1
2
PO•OF2sin60°，且PO=PF2=OF2=c可求c，由余弦定理可得，PF1=
c2+c2-2×c× c×cos120°
=
3
c，结合椭圆的定义可得PF1+PF2=2a=(
3
+1)c，可求a，由b2=a2-c2可求
解答：解：由题意可得
3
=
1
2
PO•OF2sin60°，且PO=PF2=OF2=c
∴c=2
由余弦定理可得，PF1=
c2+c2-2×c× c×cos120°
=
3
c
由椭圆的定义可得，PF1+PF2=2a=(
3
+1)c=2(
3
+1)
∴a=
3
+1，b2=a2-c2=2
3

故答案为：2
3
点评：本题主要考查了椭圆的性质，椭圆的定义，属于知识的综合应用，解题的关键是熟练掌握性质并能灵活应用．
练习册系列答案
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精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，求证：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．
设 A（x1，y1）、B（x2，y2）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的两点，O为坐标原点，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A点坐标为（a，0），求点B的坐标；
（2）设
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，证明点M在椭圆上；
（3）若点P、Q为椭圆 上的两点，且
PQ
∥
OB
，试问：线段PQ能否被直线OA平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．

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