Question

【题目】正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD= CD=2，点M是EC中点． （Ⅰ）求证：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求三棱锥M﹣BDE的体积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：取ED的中点N，连接MN． 又∵点M是EC中点．
∴MN∥DC，MN= ．
而AB∥DC，AB= DC．
∴ ，
∴四边形ABMN是平行四边形．
∴BM∥AN．
而BM平面ADEF，AN平面ADEF，
∴BM∥平面ADEF．
（Ⅱ）解：∵M为EC的中点，
∴ ，
∵AD⊥CD，AD⊥DE，且DE与CD相交于D
∴AD⊥平面CDE．
∵AB∥CD，
∴三棱锥B﹣DME的高=AD=2，
∴VM﹣BDE=VB﹣DEM= = ．

【解析】（Ⅰ）取ED的中点N，连接MN．利用三角形的中位线定理可得MN∥DC，MN= ．再利用已知可得 ，即可证明四边形ABMN是平行四边形．再利用线面平行的判定定理即可证明．（Ⅱ）利用三棱锥的体积计算公式可得VM﹣BDE=VB﹣DEM= ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．