Question

已知函数f(x)=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1）
（1）求f（x）的定义域和值域
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明；
（3）当a＞1时，若对任意实数m，不等式f（m²+km）+f（k-m-1）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对于任意实数x，都有a^x＞0，即可得到函数f（x）的定义域；由f（x）=1-

2

ax+1

，即可求出值域．
（2）任取实数x，都有f（-x）=-f（x），可得此函数的奇偶性．
（3）先证明函数f（x）在实数集R上的单调性，进而可把m²+km及k-m-1解放出来，进而可求出k的取值范围．

解答：解：（1）∵?x∈R，都有a^x＞0，∴a^x+1＞1，故函数f(x)=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1）的定义域为实数集R．
∵f（x）=

ax-1

ax+1

=

ax+1-2

ax+1

=1-

2

ax+1

，
而a^x＞0，∴a^x+1＞1，∴0＜

1

ax+1

＜1，∴0＜

2

ax+1

＜2，∴-2＜-

2

ax+1

＜0，∴-1＜1-

2

ax+1

＜1．
即-1＜f（x）＜1．
∴函数f（x）的值域为（-1，1）．
（2）函数f（x）在实数集R上是奇函数．下面给出证明．
∵?x∈R，f（-x）=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-

ax-1

ax+1

=-f（x），∴函数f（x）在实数集R上是奇函数．
（3）∵函数f（x）在实数集R上是奇函数，
∴不等式f（m²+km）+f（k-m-1）＞0，∴f（m²+km）＞-f（k-m-1）=f（m+1-k）．
下面证明a＞1时，函数f（x）=1-

2

ax+1

在实数集R上单调递增．
?x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=1-

2

ax1+1

-(1-

2

ax2+1

)=

2(ax1-ax2)

(ax1+1)(ax2+1)

，
∵a＞1，∴ax1+1＞0，ax2+1＞0，ax1-ax2＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在实数集R上单调递增．
∴由不等式f（m²+km）＞f（m+1-k），可得m²+km＞m+1-k，即m²+（k-1）m+k＞0．
∵上式对于任意实数m都成立，∴△＜0，∴（k-1）²-4k＜0，即k²-6k+1＜0．
∵方程k²-6k+1=0的两个根为x_1，2=

6±4 2

2

=3±2

2

．
∴不等式k²-6k+1＜0的解集为{k|3-2

2

＜k＜3+2

2

}．
即实数k的取值范围为（3-2

2

，3+2

2

）．

点评：本题综合考查了函数的定义域、值域、奇偶性及单调性，熟练掌握以上知识及方法是解决问题的关键．