Question

已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26．{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令bn=

1

Sn

(n∈N+)，求数列{b_n}的前n项和T_n并证明：

1

3

≤Tn＜

3

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可得出；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，利用裂项求和即可得出T_n，再利用单调性即可证明结论．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃=7，a₅+a₇=26，∴

a1+2d=7 a1+4d+a1+6d=26

，解得

a1=3 d=2

，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，S_n=

n(3+2n+1)

2

=n²+2n（n∈N^*）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：S_n=n（n+2），∴bn=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)，
∵0＜

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)≤

1

2

(

1

2

+

1

3

)=

5

12

，
∴

1

3

≤

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

4

，
∴

1

3

≤Tn＜

3

4

．

点评：熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式、“裂项求和”方法、函数的单调性是解题的关键．