题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)经过点(-
3
，
3
2
)，其离心率是
1
2
．
（1）求这个椭圆的标准方程； 
（2）斜率为1的直线l与椭圆交于A，B两点，椭圆上是否存在一点P，使四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由．
分析：（1）由椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)经过点(-
3
，
3
2
)，其离心率是
1
2
，构造关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，代入可得椭圆的标准方程．
（2）直线l的方程为y=x+m，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理可得x1+x2=-
4m
7
，y1+y2=
10m
7
，进而根据平行四边形对角顶点和相等，可得P点坐标，代入椭圆方程求出m值后，进而可得P点坐标．
解答：解：（1）∵椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)经过点(-
3
，
3
2
)，且离心率是
1
2
．
∴
3
a2
+
3
4b2
=1
3a2=4b2

解得a2=4，b2=3
∴椭圆的标准方程为
x2
4
+
y2
3
=1
（2）设直线l的方程为y=x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），
由
x2
4
+
y2
3
=1
y=x+m
得：7x2+8mx+4m2-12=0
则x1+x2=-
4m
7
，y1+y2=x1+x2+2m=
10m
7

若四边形OAPB为平行四边形，则x0=x1+x2=-
4m
7
，y0=y1+y2=
10m
7

又∵点P在椭圆
x2
4
+
y2
3
=1上，
∴
(-
4m
7
)2
4
+
(
10m
7
)2
3
=1
解得m=±
21
4

故P点坐标为（-
21
7
，
5
21
14
）或（
21
7
，-
5
21
14
）
点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，熟练掌握椭圆的简单性质，是解答的关键．
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相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
1
2

（Ⅰ）求椭圆的标准方程，
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
PF1
•
PA
的取值范围
（III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
AH
2=
MH
•
HN
，求证：直线l恒过定点．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率是
3
2
，且经过点M（2，1），直线y=
1
2
x+m(m＜0)与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当m=-1时，求△MAB的面积；
（3）求△MAB的内心的横坐标．
（2013•威海二模）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
6
3
，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
ND
•
MP
AB
2
为定值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

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