Question

等差数列｛a_n｝中，a₁＜0,S₉=S₁₂，该数列前多少项的和最小？

Answer 1

解法一:由

即

解得10≤n≤11.∴取10或11时S_n取最小值.

解法二:∵S₉=S₁₂，∴a₁₀+a₁₁+a₁₂=0.?∴3a₁₁=0.

∴a₁₁=0.∵a₁＜0,∴前10项或前11项和最小.

解法三:∵S₉=S₁₂，∴S_n的图象所在的抛物线的对称轴为x==10.5.

又a₁＜0,?∴{a_n}的前10项或前11项的和最小.

解法四:由S₉=S₁₂，得

9a₁+d=12a₁+d.

化简得a₁=－10d.

∵a₁＜0,∴d＞0.

此时S_n=na₁+n(n－1)d=n²+(a₁－)n?=n²－n.

∵n∈N^*且－=,

∴当n=10或n=11时S_n最小，即{a_n}的前10项或前11项的和最小.

点评:在上述四种解法中，解法一、二是利用数列的特殊性来解决问题，解法三、四是利用函数的共性来解决问题，解法四是基本方法，是通性通法.