Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=

1

2

（3n+S_n）对一切正整数n成立
（Ⅰ）证明：数列{3+a_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

n

3

an，求数列{b_n}的前n项和B_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把S_n和S_n+1相减整理求得a_n+1=2a_n+3，整理出3+a_n+1=2（3+a_n），判断出数列{3+a_n}是首相为6，公比为2的等比数列，求得3+a_n，则a_n的表达式可得．
（Ⅱ）把（Ⅰ）中的a_n代入b_n，求得其通项公式，进而利用错位相减法求得数列的前n项的和．

解答：解：（Ⅰ）由已知得S_n=2a_n-3n，
S_n+1=2a_n+1-3（n+1），两式相减并整理得：a_n+1=2a_n+3
所以3+a_n+1=2（3+a_n），又a₁=S₁=2a₁-3，a₁=3可知3+a₁=6≠0，进而可知a_n+3≠0
所以

3+an+1

3+an

=2，故数列{3+a_n}是首相为6，公比为2的等比数列，
所以3+a_n=6•2^n-1，即a_n=3（2ⁿ-1）
（Ⅱ）b_n=n（2ⁿ-1）=n2ⁿ-n
设T_n=1×2+2×2²+3×2³++n×2ⁿ（1）2T_n=1×2²+2×2³++（n-1）2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹（2）
由（2）-（1）得T_n=-（2+2²+2³++2ⁿ）+n2ⁿ⁺¹=-

2-2n+1

1-2

+n2n+1=2+(n-1)2n+1∴Bn=Tn-(1+2+3++n)=2+(n-1)2n+1-

n(n+1)

2

点评：本题主要考查了数列的递推式的应用，数列的通项公式和数列的求和问题．应熟练掌握一些常用的数列的求和方法如公式法，错位相减法，叠加法等．