Question

已知数列{a_n}是等差数列，若a₉+3a₁₁＜0，a₁₀•a₁₁＜0，且数列{a_n}的前n项和S_n有最大值，那么当S_n取得最小值时，n=（　　）

A．20

B．17

C．19

D．21

Answer 1

分析：由条件求得-9d＜a₁＜-9.5d，d＜0．令 S_n＞0，且 S_n+1≤0，可得 n＜-

2a1

d

+1，且 n≥-

2a1

d

．再由-9d＜a₁＜-9.5d，可得
18＜-

2a1

d

＜19，故有19≤n≤19，从而得到n的值．

解答：解：∵数列{a_n}是等差数列，若a₉+3a₁₁＜0，设公差为d，则有4a₁+38d＜0，即2a₁+19d＜0，
故有 （a₁+9d）+（a₁+10d）=a₁₀+a₁₁＜0，且a₁＜-9.5d．
再由前n项和S_n有最大值，可得数列为递减数列，共公差d＜0．
结合a₁₀•a₁₁＜0，可得a₁₀ =a₁+9d＞0，a₁₁＜=a₁+10d＜0，故-9d＜a₁＜-10d．
综上可得-9d＜a₁＜-9.5d．
令 S_n＞0，且 S_n+1≤0，可得na₁+

n(n-1)

2

d＞0，且 （n+1）a₁+

n(n+1)

2

d≤0．
化简可得 a₁+

n-1

2

d＞0，且a₁+

n

2

d≤0．即 n＜-

2a1

d

+1，且 n≥-

2a1

d

．
再由-9d＜a₁＜-9.5d，可得 18＜-

2a1

d

＜19，∴19≤n≤19，∴n=19，
故选C．

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质．等比数列的前n项和公式的应用，属于中档题．