题目内容

已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，AB=4，AD=6，∠PDA=45°
（1）求证：MN⊥平面PCD；
（2）求四面体PMND的体积．

解：（1）证明：取PD的中点E，
∵PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，AB=4，AD=6，
∴NE∥CD，NE= $\text{[math]}$ CD，
故AM和NE平行且相等，故AMNE为平行四边形，∴MN∥AE．
∵∠PDA=45°，∴AE 是等腰直角三角形斜边上的中线，∴AE⊥PD．
由CD垂直于面PAD可得 CD⊥AE．这样，AE 垂直于平面PCD内的两条相交直线PD和CD，
∴AE⊥平面PCD，∴MN⊥平面PCD．
（2）V_P-MND=V_M-PDN= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =12．
分析：（1）取PD的中点E，证明AMNE为平行四边形，MN∥AE，由等腰直角三角形斜边上的中线性质可得AE⊥PD，再由CD⊥AE 可得AE⊥平面PCD，故有MN⊥平面PCD．
（2）利用V_P-MND=V_M-PDN= $\text{[math]}$ ，进行运算．
点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求棱锥的体积，证明AE⊥平面PCD 是解题的关键．

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如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、

PC的中点．

（1）求证：EF∥平面PAD；

（2）求证：EF⊥CD；

（3）若ÐPDA＝45°求EF与平面ABCD所成的角的大小．

【解析】本试题主要考查了线面平行和线线垂直的运用，以及线面角的求解的综合运用

第一问中，利用连AC，设AC中点为O，连OF、OE在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点 ∴ FO∥PA …………①在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又 ∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO ∴ EF∥平面PAD．

第二问中在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD ∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC∴ EO为EF在平面AC内的射影 ∴ CD⊥EF．

第三问中，若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC ∵ EOBC，FOPA