Question

已知对任意m∈R，直线x+y+m=0都不是f（x）=x³-3ax（a∈R）的切线．
（I）求a的取值范围；
（II）求证在x∈[-1，1]上至少存在一个x₀，使得|f(x0)|≥

1

4

成立．

Answer 1

分析：（I）求出f（x）导函数的值域，由直线x+y+m=0都不是f（x）=x³-3ax的切线得到-1不属于导函数的值域，得到关于a的不等式，求出解集得到a的取值范围即可；
（II）要证的问题等价于当x∈[-1，1]时，|f(x)|max≥

1

4

，设g（x）=|f（x）|，g（x）在x∈[-1，1]上是偶函数，故只要证明当x∈[0，1]时，|f(x)|max≥

1

4

，分a小于等于0和a大于0小于

1

3

两种情况，讨论f'（x）的正负化简绝对值并得到函数的增减区间，根据函数的增减性分别求出|f（x）|的最小值比

1

4

大得证．

解答：解：（I）f'（x）=3x²-3a∈[-3a，+∞），
∵对任意m∈R，直线x+y+m=0都不是y=f（x）的切线，
∴-1∉[-3a，+∞），-1＜-3a，实数a的取值范围是a＜

1

3

；
（II）证明：在x∈[-1，1]上至少存在一个x₀，使得|f(x0)|≥

1

4

成立等价于当x∈[-1，1]时，|f(x)|max≥

1

4

，
设g（x）=|f（x）|，g（x）在x∈[-1，1]上是偶函数，故只要证明当x∈[0，1]时，|f(x)|max≥

1

4

，
①当a≤0时，f'（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增且f（0）=0，g（x）=f（x），g(x)max=f(1)=1-3a＞1＞

1

4

；
②当0＜a＜

1

3

时，f′(x)=3x2-3a=3(x+

a

)(x-

a

)，列表：

f（x）在(0，

a

)上递减，在(

a

，1)上递增，
∵

a

＜

3a

＜1，
∴x∈(0，

3a

)时，g（x）=-f（x），x∈(

3a

，1)时，g（x）=f（x），
∴g(x)min=min{f(1)，-f(

a

)}，
若-f(

a

)＞f(1)=1-3a，即

1

4

＜a≤ 

1

3

，则g(x)max=-f(

a

)=2a

a

＞

1

4

若-f(

a

)≤f(1)=1-3a，即0＜a＜

1

4

，则g(x)max=f(1)=1-3a＞

1

4

；
∴在x∈[-1，1]上至少存在一个x₀，使得|f(x0)|≥

1

4

成立．

点评：此题是一道综合题，要求学生会利用导数求曲线上某点切线方程的斜率，掌握不等式恒成立时所取的条件以及导数在最值问题中的应用．