Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知

a

3 cosA

=

c

sinC

，
（1）求A的大小；
（2）若a=6，求△ABC的周长的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件结合正弦定理得，

a

3 cosA

=

c

sinC

=

a

sinA

，求得tanA=

3

，可得A的值．
（Ⅱ）由三角形任意两边之和大于第三边可得b+c＞a=6．再由余弦定理利用基本不等式求得 （b+c）²≤
4×36，从而△ABC的周长的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由条件结合正弦定理得，

a

3 cosA

=

c

sinC

=

a

sinA

，
从而sinA=

3

cosA，tanA=

3

，
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

．
（Ⅱ）由已知：b＞0，c＞0，b+c＞a=6．
由余弦定理得：a²=36=b2+c2-2bccos

π

3

=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-

3

4

(b+c)2=

1

4

(b+c)2，
（当且仅当b=c时等号成立）
∴（b+c）²≤4×36，又b+c＞6，
∴6＜b+c≤12，
从而△ABC的周长的取值范围是（12，18]．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．