Question

已知函数f(x)=ax³-3x²+1-(a＞0)．

(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；

(Ⅱ)若曲线y=f(x)上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

解:(Ⅰ)由题设知a≠0，f′(x)=3 ax²-6x=3ax(x-).

令f′(x)=0得x₁=0，x₂=．又a＞0，

若x∈(-∞，0)，则f′(x)＞0，所以f(x)在区间(-∞，0)上是增函数；

若x∈(0，)，则f′(x)＜0，所以f(x)在区间(0, )上是减函数；

若x∈(,+∞)，则f′(x)＞0，所以f(x)在区间(，+∞)上是增函数；

(Ⅱ)由(Ⅰ)的时论及题设知，曲线y=f(x)上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数y=f(x)在x=0，x=处分别取得极值f(0)=1-，f()=．

因为线段AB与x轴有公共点，所以f(0)·f()≤0．

即(+1)(1-)≤0．又a＞0，解得3≤a≤4．

即所求实数a的取值范围是[3，4]．