Question

已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足，f（-x）=f（x），f（-2）=-3，数列{a_n} 满足a₁=-1，且S_n=2a_n+n，（其中S_n为{a_n} 的前n项和）．则f（a₅）+f（a₆）=

1. A.
   3
2. B.
   -2
3. C.
   -3
4. D.
   2

Answer 1

A
分析：先确定f（x）是以3为周期的周期函数，再由a₁=-1，且S_n=2a_n+n，推知a₅=-31，a₆=-63，由此即可求得结论．
解答：∵函数f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∵f（-x）=f（x），∴f（-x）=-f（-x）
∴f（3+x）=f（x），∴f（x）是以3为周期的周期函数．
∵a₁=-1，且S_n=2a_n+n，
∴a₂=-3，∴a₃=-7，a₄=-15，∴a₅=-31，a₆=-63
∴f（a₅）+f（a₆）=f（-31）+f（-63）=f（2）+f（0）=f（2）=-f（-2）=3
故选A．
点评：本题主要考查函数性质的转化，考查数列的通项，考查学生的计算能力，确定f（x）是以3为周期的周期函数是关键．