Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，A是椭圆C上的一点，且

AF2

•

F1F2

=0，坐标原点O到直线AF₁的距离为

1

3

|OF1|．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P（-1，0），较y轴于点M，若

MQ

=2

QP

，求直线l的方程．

Answer 1

（I）由题设知F1(-

a2-2

，0)，F2(

a2-2

，0)
由于

AF2

•

F1F2

=0，则有

AF2

⊥

F1F2

，
所以点A的坐标为(

a2-2

，±

2

a

)，
故AF₁所在直线方程为y=±(

x

a a2-2

+

1

a

)，…（3分）
所以坐标原点O到直线AF₁的距离为

a2-2

a2-1

(a＞

2

)，
又|OF1|=

a2-2

，所以

a2-2

a2-1

=

1

3

a2-2

，
解得a=2(a＞

2

)，
所求椭圆的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．…（5分）
（II）由题意知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=k（x+1），则有M（0，k），
设Q（x₁，y₁），由于

MQ

=2

QP

，
∴（x₁，y₁-k）=2（-1-x₁，-y₁），
解得x1=-

2

3

，y1=

k

3

…（8分）
又Q在椭圆C上，得

(- 2 3 )2

4

+

( k 3 )2

2

=1，
解得k=±4，…（10分）
故直线l的方程为y=4（x+1）或y=-4（x+1），
即4x-y+4=0或4x+y+4=0．  …（12分）