Question

已知：sin 2300+sin 2900+sin 21500=

3

2

，sin 250+sin 2650+sin 21250=

3

2

．观察上述两式的规律，请你写出对任意角α都成立的一般性命题并证明．

Answer 1

分析：观察上式的两式，猜想得到sin²α+sin²（α+60°）+sin²（α+120°）=

3

2

，理由为：先将等式左边三项分别利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，得到其值等于等式右边的值，得证．

解答：解：猜想sin²α+sin²（α+60°）+sin²（α+120°）=

3

2

，理由为：
证明：等式左边=

1-cos2α

2

+

1-cos(2α+120°)

2

+

1-cos(2α+240°)

2

=

1

2

+

1

2

+

1

2

-

1

2

[cos2α+cos（2α+120°）+cos（2α+240°）]
=

3

2

-

1

2

（cos2α-

1

2

cos2α-

3

2

sin2α-

1

2

cos2α+

3

2

sin2α）
=

3

2

=右边，
则sin²α+sin²（α+60°）+sin²（α+120°）=

3

2

．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．