Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x-1．
（1）求f（x）的解析式
（2）写出f（x）的单调区间；
（3）求满足f（-m）=f（m）的实数m的值．

Answer 1

分析：（1）先根据奇函数的性质推断出f（0）=0，进而把-x代入x＞0时函数的解析式，利用奇数函数的性质求得x＜0的解析式，最后利用分段函数表示即可；
（2）根据一次函数的单调性与一次项系数的符号有关可分别判定函数在（-∞，0）与（0，+∞）上的单调性；
（3）先根据奇偶性可得f（m）=0，然后讨论m，根据函数值求相应的m即可．

解答：解：（1）因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，根据其对称性可知f（0）=0，
当x＜0时，-x＞0
则f（-x）=2（-x）-1=-f（x）
∴x＜0时，f（x）=2x+1
∴f（x）=

2x-1   x＞0 0        x=0 2x+1  x＜0

（2）当x＞0时，f（x）=2x-1，根据一次函数的性质可知函数在（0，+∞）上单调递增
当x＜0时，f（x）=2x+1，根据一次函数的性质可知函数在（-∞，0）上单调递增
∴f（x）在（-∞，0）、（0，+∞）上单调递增
（3）∵f（-m）=f（m），f（x）是定义在R上的奇函数
∴-f（m）=f（m）即f（m）=0
当m＞0时，f（m）=2m-1=0，解得m=

1

2

当m=0时，f（0）=0，满足条件
当m＜0时，f（m）=2m+1=0，解得m=-

1

2

∴满足f（-m）=f（m）的实数m的值为-

1

2

，0，

1

2

．

点评：本题主要考查了函数的解析式，以及函数的奇偶性和求函数值，同时考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．