题目内容
定义在R上的函数f(x)满足对任意x、y∈R恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(x)不恒为0.
(1)求f(1)和f(－1)的值；
(2)试判断f(x)的奇偶性，并加以证明；
(3)若x≥0时f(x)为增函数，求满足不等式f(x＋1)－f(2－x)≤0的x的取值集合．
解：(1)令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)．
∴f(1)＝0.
令x＝y＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(－1)．
∴f(－1)＝0.
(2)令y＝－1，由f(xy)＝f(x)＋f(y)，得
f(－x)＝f(x)＋f(－1)．
又f(－1)＝0，∴f(－x)＝f(x)，
又f(x)不恒为0，∴f(x)为偶函数．
(3)由f(x＋1)－f(2－x)≤0，知f(x＋1)≤f(2－x)．
又由(2)知f(x)＝f(|x|)，
∴f(|x＋1|)≤f(|2－x|)．
又∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴|x＋1|≤|2－x|.
故x的取值集合为
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