Question

已知函数f(x)=.

（1）设a＞0,讨论y=f(x)的单调性;

（2）若对任意x∈(0,1)恒有f(x)＞1,求a的取值范围.

Answer 1

解：

（1）f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数，得f′(x)=.

①当a=2时,f′(x)=,f′(x)在(-∞,0),(0,1)和(1,+∞)上均大于0,且f(x)在x=0处连续，所以f(x)在(-∞,1),(1,+∞)上为增函数.

②当0＜a＜2时,f′(x)＞0,f(x)在(-∞,1),(1,+∞)上为增函数.

③当a＞2时,0＜＜1,令f′(x)=0,解得x₁=-,x₂=.

当x变化时,f′(x)和f(x)的变化情况如下表:

x	(-∞,-)	(-,?)	(,1)	(1,+∞)
f′(x)	+	-	+	+
f(x)

 

f(x)在(-∞,-),(,1),(1,+∞)上为增函数,f(x)在(-,)上为减函数.

(2)①当0＜a≤2时,由(1),知对任意x∈(0,1)恒有f(x)＞f(0)=1.

②当a＞2时,取x₀=∈(0,1),则由(1),知f(x₀)＜f(0)=1.

③当a≤0时,对任意x∈(0,1),恒有＞1且e^-ax≥1,

得f(x)= e^-ax≥＞1.

综上,当且仅当a∈(-∞,2］时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)＞1.