Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线与圆x²+（y-2）²=1没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是

（1，2）

．

Answer 1

分析：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线方程是bx±ay=0，圆x²+（y-2）²=1的圆心O（0，2），半径r=1，由双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线与圆x²+（y-2）²=1没有公共点，知d=

|0±2a|

a2+b2

＞1，由此能求出双曲线离心率的取值范围．

解答：解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线方程是y=±

b

a

x，
即bx±ay=0，
圆x²+（y-2）²=1的圆心O（0，2），半径r=1，
∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线与圆x²+（y-2）²=1没有公共点，
∴圆心O（0，2）到渐近线bx±ay=0的距离：
d=

|0±2a|

a2+b2

＞1，
∴

2a

c

＞1，
∴e=

c

a

＜2，
∵e＞1，
∴双曲线离心率的取值范围是（1，2）．
故答案为：（1，2）．

点评：本题主要考查双曲线的标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．