题目内容
（2004•朝阳区一模）设z1，z2是两个非零复数，且|z1+z2|=|z1-z2|；设复数z=z1+z2，在复平面内与复数z、z1、z2对应的向量分别为| OZ |
| OZ1 |
| OZ2 |
（Ⅰ）在复平面内画出向量
| OZ |
| OZ1 |
| OZ2 |
（Ⅱ）求证：(
| z1 |
| z2 |
分析：（Ⅰ）由两个非零复数满足|z1+z2|=|z1-z2|，说明以向量
，
为邻边的四边形是矩形，又复数z=z1+z2，由向量假发的三角形法则可得复数z对应的向量
；
（Ⅱ）把给出的等式两边同时除以复数z2，然后利用其几何意义得到
是纯虚数，则结果得到证明．
| OZ1 |
| OZ2 |
| OZ |
（Ⅱ）把给出的等式两边同时除以复数z2，然后利用其几何意义得到
| z1 |
| z2 |
解答：解：（Ⅰ）图形如图，
所画图形是矩形．
（Ⅱ）证明：由|z1+z2|=|z1-z2|，∵z1、z2不等于零，得|
+1|=|
-1|，
它表示复数
在复平面上对应的点，到点（-1，0），（1，0）的距离相等，
∴
对应的点是复平面虚轴上的点．
∴
是纯虚数．
∴(
)2是负实数．
所画图形是矩形．
（Ⅱ）证明：由|z1+z2|=|z1-z2|，∵z1、z2不等于零，得|
| z1 |
| z2 |
| z1 |
| z2 |
它表示复数
| z1 |
| z2 |
∴
| z1 |
| z2 |
∴
| z1 |
| z2 |
∴(
| z1 |
| z2 |
点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，解答的关键是对基本概念的理解，是基础题．
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