Question

【题目】已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，若方程有两个相异实根，且，证明： .

Answer 1

【答案】(1) 在上单调递减， 上单调递增.(2)见解析.

【解析】试题分析：

（1）由题令，解得（舍去），，结合图象可得的符号，进而得到函数的单调性；（2）将证明的问题转化为比较两个函数值大小的问题，然后利用单调性求解。设，可得，再通过构造函数的方法可证得，即,最后再利用在上单调递增，可得.

试题解析：

（1）因为

所以，

因为，所以，

由得（舍去），，

所以当时， 单调递减，

当时， 单调递增，

故在上单调递减，在上单调递增.

（2）当时， ，

设的两个相异实根分别为，

则满足，且，

令，

则，所以在上递减

由题意可知，故，

所以，

令，

则

令，

则，

当时， ，

所以是减函数，

所以，

所以当时， ，

所以,

因为， 在上单调递增，

所以.