Question

设矩阵A=

b c d e

，称为函数f(x)=

bx+c

dx+e

的系数矩阵，其中b，d≠0，矩阵A相应的行列式|A|≠0．设a1=a，a≠-

e

d

，a_n+1=f（a_n），n∈N*，若数列{a_n}是以正整数T为周期的数列，则矩阵A^T可表示成

1 0 0 1

的形式（其中A^T表示T个矩阵A的乘积）．

Answer 1

分析：由于f（a）=

ba+c

da+e

=a₂．再计算出f[f（a）]=

(b 2+dc)a+bc+ec

(db+de)a+dc+e 2

=a³，注意到A 2=

b c d e

 2=

b 2+dc bc+ec db+de dc+e 2

，可见，f²的系数矩阵为A²．同理，f^T+1的系数矩阵为A^T+1f^T+1（x）=f（x），结合矩阵运算的性质得出A^T=E（二阶单位矩阵）．

解答：解：∵f（a）=

ba+c

da+e

=a₂．
f[f（a）]=[b（

ba+c

da+e

）+c]÷[d（

ba+c

da+e

）+e]
=

(b 2+dc)a+bc+ec

(db+de)a+dc+e 2

=a³，
A 2=

b c d e

 2=

b 2+dc bc+ec db+de dc+e 2

可见，f²的系数矩阵为A²．
同理，f^T+1的系数矩阵为A^T+1f^T+1（x）=f（x）．
系数矩阵为A．
A^T+1=A，A可逆（行列式不等于0）．
A^T=E（二阶单位矩阵）．
故答案为：

1 0 0 1

点评：本小题主要考查二阶矩阵、二阶单位矩阵、函数值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．