Question

已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1
（I）求曲线在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若xf′（x）≤x²+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅲ）证明：（x-1）f（x）≥0．

Answer 1

（I）f′(x)=

x+1

x

+lnx-1=

1

x

+lnx
所以f′（1）=1，所以切线方程y=x-1
（Ⅱ）xf′（x）≤x²+ax+1?1+xlnx≤x²+ax+1，
即：xlnx≤x²+ax，x＞0，则有lnx≤x+a，
即要使a≥lnx-x成立．
令g（x）=lnx-x，那么g′(X)=

1

x

-1=0?x=1，
可知当0＜x＜1时单调增，当x＞1时单调减．
故g（x）=lnx-x 在x=1 处取最大值为g_max=-1，
那么要使得a≥lnx-x 成立，则有a≥-1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：lnx-x≤-1，即lnx-x+1≤0
当0＜x＜1 时，f（x）=xlnx+lnx-x+1＜0，
当x≥1时，f（x）=xlnx+lnx-x+1
=lnx+（xlnx-x+1）
=lnx+x（lnx+

1

x

-1）
=lnx-x（ln

1

x

-

1

x

+1）
≥0．
∴f（x）=xlnx+lnx-x+1=lnx+（xlnx-x+1）≥0
综上所述，（x-1）f（x）≥0