Question

已知函数f（x）=Asin²（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

函数，且y=f（x）的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）．
（1）求φ；
（2）求f（x）图象的对称中心；
（3）计算f（1）+f（2）+…+f（2008）．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得A=2，ω=

π

4

，再利用y=f（x）过点（1，2）即可求得φ；
（2）由（1）可知，y=1-cos（

π

2

x+

π

2

）=1+sin

π

2

x，令

π

2

x=kπ可求得x，从而可得f（x）图象的对称中心；
（3）依题意，可求f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=4，利用y=f（x）的周期为4及可求得答案．

解答：解：（1）y=Asin²（ωx+φ）=

A

2

-

A

2

cos（2ωx+2φ），
∵y=f（x）的最大值为2，A＞0，
∴

A

2

+

A

2

=2，A=2
又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0，
∴

1

2

•

2π

2ω

=2，ω=

π

4

，
∴f（x）=1-cos（

π

2

x+2φ）．
又y=f（x）过点（1，2），
∴cos（

π

2

x+2φ）=-1，
∴

π

2

+2φ=2kπ+π，k∈Z，
∴2φ=2kπ+

π

2

，k∈Z，
∴φ=kπ+

π

4

，k∈Z．
又0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

4

．
（2）∵φ=

π

4

，
∴y=1-cos（

π

2

x+

π

2

）=1+sin

π

2

x，
 令

π

2

x=kπ得：x=2k，
所以函数的对称中心为（2k，1），k∈Z．
（3）∵f（x）=1+sin

π

2

x，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4，
又y=f（x）的周期为4，2008=4×502
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）=4×502=2008．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的对称中心，考查运用诱导公式化简求值，属于中档题．