Question

已知函数f(x)=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x（x∈R）．
（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（II）求函数f（x）在区间[-

π

6

，

π

6

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）利用两角和的正弦函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，直接求函数f（x）的最小正周期，利用正弦函数的单调性求出函数的单调递增区间；
（II）通过[-

π

6

，

π

6

]求出-

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

，即可求出函数的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵f(x)=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin(2x+

π

6

)（3分）
∴函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π．（4分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

(k∈Z)（6分）
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)．（7分）
（Ⅱ）∵-

π

6

≤x≤

π

6

，∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

，（8分）
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1．（11分）
∴函数f（x）在区间[-

π

6

，

π

6

]上的最大值为1和最小值为-

1

2

．（12分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，再注意基本函数的基本性质是解题的关键．