Question

设椭圆E：，O为坐标原点
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A，B且？若存在，写出该圆的方程，关求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把点M和N代入椭圆的标准方程，可求得a和b，进而可得椭圆E的方程．
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线方程为y=kx+m，直线和椭圆方程联立，消去y，根据判别式大于0求得k和m的不等式关系，再根据使，需使x₁x₂+y₁y₂=0，分别用k和m分别表示出x₁x₂和y₁y₂进而可求得k和m的关系，代入k和m的不等式关系中求得m的范围，因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，求得半径，圆的方程可得．此时圆的切线y=kx+m都满足，进而判定存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且．最后用k表示出|AB|，根据k的范围确定|AB|的范围．
解答：解：（1）因为椭圆E：（a，b＞0）
过M（2，），N（，1）两点，
所以解得
所以椭圆E的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，
使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，
且，设该圆的切线方程为y=kx+m解方程组
得x²+2（kx+m）²=8，即（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
则△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，
即8k²-m²+4＞0，
要使，
需使x₁x₂+y₁y₂=0，
即，
所以3m²-8k²-8=0，所以又8k²-m²+4＞0，
所以，所以，
即或，
因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为，
，
，所求的圆为，
此时圆的切线y=kx+m都满足或，
而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，综上，
存在圆心在原点的圆，
使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且．
因为，
所以，=，
①当k≠0时
因为所以，
所以，
所以当且仅当时取”=”．
2当k=0时，
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．