Question

已知函数f(x)=

ax-1(x＞0) log 1 2 (x+1)(-1＜x≤0)

且f[f(-

3

4

)]＞3，在各项为正的数列{a_n}中，a1=2，an+1=f(an+

1

2

)，{an}的前n项和为S_n，若S_n=126，则n=

6

．

Answer 1

分析：由题意可得，f[f（-

3

4

）]=2a-1可求a，进而可求f（x），由a₁=2可得an+

1

2

＞0，从而有an+1=f(an+

1

2

)=2（an+

1

2

）-1=2a_n，利用等比数列的求和公式可求s_n，结合已知可求n

解答：解：由题意可得，f[f（-

3

4

）]=f[log

1

2

(-

3

4

 +1)]=f（2）=2a-1=3
∴a=2
∴f(x)=

2x-1，x＞0 log 1 2 (x+1)，-1＜x≤0

∵a₁=2
∴an+

1

2

＞0
∴an+1=f(an+

1

2

)=2（an+

1

2

）-1=2a_n
∴数列{a_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列
∴S_n=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2=126
∴2ⁿ⁺¹=128
∴n=6
故答案为6

点评：本题以函数的函数值的求解为载体，主要考查了利用数列的递推关系构造等比数列，进而求解数列的和，属于函数与数列知识的综合应用．