Question

(本小题满分12分)设函数，曲线在点M处的切线方程为．

（Ⅰ）求的解析式；       （Ⅱ）求函数的单调递减区间；

（Ⅲ）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）

（Ⅱ）的单调减区间为

（Ⅲ）略

【解析】解：（Ⅰ）∵切点在切线上∴将点M代入切线方程解得………1分

由，………2分

根据题意得关于a,b的方程组：

解得：a=1,b=1………3分

所以的解析式的解析式为：………4分

（Ⅱ）由() ……5分

 令，解得：………7分

所以的单调减区间为……8分

（Ⅲ）（Ⅱ）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为

，

即．

令得，从而得切线与直线的交点坐标为．

令得，从而得切线与直线的交点坐标为．···· 10分

所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为

． 12分