Question

有如下列命题：
①三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍的三角形存在且唯一；
②若

a

•

b

≥|

a

|•|

b

|，则存在正实数λ，使得

a

=λ

b

；
③若函数f(x)=

1

3

x3-ax2+(a2+3a-3)x+1在点x=1处取得极值，则实数a=1或a=-2；
④函数f（x）=x-sinx有且只有一个零点．
其中正确命题的序号是

①④

．

Answer 1

分析：①利用余弦定理进行判断．②利用数量积的定义和公式进行判断．③利用导数和极值的关系判断．④利用导数判断函数的单调性即可．

解答：解：①设三角形三边是连续的三个自然n-1，n，n+1，三个角分别为α，π-3α，2α，由正弦定理可得

n-1

sin?α

=

n+1

sin?2α

=

n+1

2sin?αcos?α

，∴cosα=

n+1

2(n-1)

．
再由余弦定理可得 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•cosα，即 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n

n+1

2(n-1)

．化简可得n²-5n=0，∴n=5． 此时，三角形的三边分别为：4，5，6，可以检验最大角是最小角的2倍．综上，存在一个三角形三边长分别为 4，5，6，且最大角是最小角的2倍．所以①正确．
②若

a

•

b

≥|

a

|•|

b

|，所以当

b

=

0

满足条件，所以②错误．
③函数的导数为f'（x）=x²-2ax+a²+3a-3，因为点x=1处取得极值，所以f'（1）=1-2a+a²+3a-3=0，解得a=1或a=-2，当a=1时，f'（x）=x²-2x+1=（x-1）²≥0，此时函数单调递增，无极值，所以③错误．
④函数的导数为f'（x）=1-cosx≥0，所以函数f（x）=x-sinx单调递增，因为f（0）=0，所以函数f（x）=x-sinx有且只有一个零点，正确．
故答案为：①④．

点评：本题主要考查各种命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，难度较大．