题目内容
8．求（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）16的展开式中x3项的系数．（用两种解法）分析 方法一：由题意可得，展开式中x3项的系数为${C}_{3}^{3}$+${C}_{4}^{3}$+${C}_{5}^{3}$+…+${C}_{16}^{3}$=${C}_{17}^{4}$．
方法二：把所给的式子利用等比数列的求和公式化简为$\frac{{（1+x）}^{3}{-（1+x）}^{17}}{-x}$，可得x3项的系数即为（1+x）17的展开式中x4的系数${C}_{17}^{4}$．
解答 解：方法一：（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）16的展开式中x3项的系数为${C}_{3}^{3}$+${C}_{4}^{3}$+${C}_{5}^{3}$+…+${C}_{16}^{3}$=${C}_{17}^{4}$=2380．
方法二：（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）16 =$\frac{{（1+x）}^{3}[1{-（1+x）}^{14}]}{1-（1+x）}$=$\frac{{（1+x）}^{3}{-（1+x）}^{17}}{-x}$，
故x3项的系数即为（1+x）17的展开式中x4的系数，为${C}_{17}^{4}$=2380．
点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，等比数列的求和公式，属于基础题．
练习册系列答案
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3．某篮球运动员投篮命中的概率为0.7，则他在一次投篮中命中的次数ξ的分布列为（ ）
| A． |
| B． |
| C． |
| D． |
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如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD所在平面互相垂直，已知 AB∥CD，AD⊥CD，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD．