Question

已知以C（2，0）为圆心的圆C和两条射线y=±x，（x≥0）都相切，设动直线L与圆C相切，并交两条射线于A、B，求线段AB中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：设直线L的方程为y=kx+b．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），通过

y=x y=kx+b

得求出A，通过

y=-x y=kx+b

得B，利用中点坐标公式得：k=

x

y

，b=

y2-x2

y

，通过圆C与y=±x都相切，推出（y²-x²）+4x（y²-x²）-2（y²-x²）=0，推出轨迹方程．

解答：解：设直线L的方程为y=kx+b．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
由

y=x y=kx+b

得A（

b

1-k

，

b

1-k

），（k≠1）
由

y=-x y=kx+b

得B（

-b

1+k

，

b

1+k

），
∴

x= x1+x2 2 = kb 1-k2 …①  y= y1+y2 2 = b 1-k2 …②

由①②得：k=

x

y

，b=

y2-x2

y

  ③
∵圆C与y=±x都相切
∴圆C的半径r=

2

．
∵AB：kx-y+b=0与圆C相切，
∴

|2k+b|

k2+1

=

2

，即2k²+4kb+b²-=0  ④
将③代入④（y²-x²）+4x（y²-x²）-2（y²-x²）=0
∵y²≠x²，∴y²-x²+4x-2=0即（x-2）²-y²=2．（y≠0）
当L⊥x轴时，线段AB的中点M（2±

2

，0）也符合上面的方程，其轨迹在∠AOB内．

点评：本题考查轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，恰当消元利用已知条件是解题的关键，考查计算能力．