Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点。

（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAB；

（Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小。

Answer 1

方法一：

（Ⅰ）证明：连结EP，

∵PD⊥底面ABCD，DE在平面ABCD内，

∴PD⊥DE.又CE=ED，PD=AD=BC，∴Rt△BCE≌Rt△PDE.∴PE=BE.

∵F为PB中点，   ∴EF⊥PB.

由三垂线定理得PA⊥AB，

∴在Rt△PAB中PF=AF，又PE=BE=EA，∴△EFP≌△EFA，∴EF⊥FA.

∵PB、FA为平面PAB内的相交直线，∴EF⊥平面PAB.             

（Ⅱ）解：不妨设BC=1，则AD=PD=1，AB=，PA=，AC=.

∴△PAB为等腰直角三角形，且PB=2，F为其斜边中点，BF=1，且AF⊥PB.

∵PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直，∴PB⊥平面AEF.

连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH⊥平面AEF.   ∠GAH为AC与平面AEF所成的角.

由△EGC∽△BGA可知EG=GB，EG=EB，AG=AC=.

由△EGH∽△EBF可知GH=BF=.∴sin∠GAH=.        

AC与平面AEF所成的角为arcsin.

方法二：

以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系.

（Ⅰ）证明：

设E(a,0,0)，其中a>0，则C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),F(a,,).

=(0,,),=(2a,1,－1),=(2a,0,0).  ?=0，

∴EF⊥PB.     ?=0，  ∴EF⊥AB.

又PB平面PAB，AB平面PAB，PB∩AB=B，∴EF⊥平面PAB.               ……6

（Ⅱ）解：由AB=BC，得a=.

可得=(,－1,0), ＝(,1,－1),cos<,>==

异面直线AC、PB所成的角为arccos.    =(,－,),

∴?=0，PB⊥AF.

又PB⊥EF，EF、AF为平面AEF内两条相交直线，∴PB⊥平面AEF.

∴AC与平面AEF所成的角为－arccos(=arcsin).

即AC与平面AEF所成的角为arcsin.