Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）有极大值5，其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式为______．

Answer 1

由f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0），∴f^′（x）=3ax²+2bx+c．
由导函数y=f′（x）的图象可知：当x＜1时，f^′（x）＞0；当x=1时，f^′（1）=0；当1＜x＜2时，f^′（x）＜0．
∴函数f（x）在x=1时取得极大值5，∴f（1）=5．
又由图象可知，1，2是导函数f^′（x）的零点．
由上可得

f(1)=5 f′(1)=0 f′(2)=0

，即

a+b+c=5 3a+2b+c=0 12a+4b+c=0

解得

a=2 b=-9 c=12

．
∴f（x）=2x³-9x²+12x．
故答案为f（x）=2x³-9x²+12x．