Question

若不等式x+2

2xy

≤a（x+y） 对一切正数x、y恒成立，则正数a的最小值为（　　）

• A．1
• B．2
• C．

  2

  +

  1

  2

• D．2

  2

  +1

Answer 1

分析：不等式x+2

2xy

≤a（x+y） 对一切正数x、y恒成立，可得a≥(

x+2 2xy

x+y

)max．令f（x，y）=

x+2 2xy

x+y

=

1+2 2 • y x

1+ y x

，x＞0，y＞0．令

y

x

=t＞0，则g（t）=

1+2 2 t

1+t2

，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答：解：∵不等式x+2

2xy

≤a（x+y） 对一切正数x、y恒成立，∴a≥(

x+2 2xy

x+y

)max．
令f（x，y）=

x+2 2xy

x+y

=

1+2 2 • y x

1+ y x

，x＞0，y＞0．
令

y

x

=t＞0，则g（t）=

1+2 2 t

1+t2

，g′(t)=

2 2 (1+t2)-(1+2 2 t)•2t

(1+t2)2

=

-2( 2 t2+t- 2 )

(1+t2)2

=

-2( 2 t-1)(t+ 2 )

(1+t2)2

，
令g′（t）=0，解得t=

2

2

，可知当t=

2

2

时，g（t）取得极大值即最大值，
g（t）=

1+2 2 × 2 2

1+( 2 2 )2

=2．
∴a≥2．
故a的最小值为2．
故选B．

点评：本题考查了恒成立问题的等价转化、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，属于难题．