Question

（12分）已知椭圆的离心率，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，当直线的斜率为1时，坐标原点到直线的距离为.
（1）求椭圆的方程
（2）椭圆上是否存在点，使得当直线绕点转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有满足条件的点的坐标及对应直线方程；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）（2）存在，坐标为或.

试题分析：(1)因为直线过右焦点，斜率为1，
所以直线的方程为：即.
坐标原点到直线的距离为，所以，所以.             …2分
因为离心率为，所以所以，
所以椭圆C的方程为.                                           …4分
(2)因为直线过右焦点，所以当直线斜率不存在时，直线方程为：
所以所以,为右端点时，，
所以此时没有符合要求的点.
当直线斜率存在时，设直线方程为：，
由得：.                        …7分
设点的坐标分别为，，
则，因为，，
所以，
所以，
所以点的坐标为，且符合椭圆方程，
所以，解得
所以点的坐标为或.                                  …12分
点评：设直线方程时要注意斜率存在与不存在两种情况，求解直线与椭圆位置关系问题时，通常要联立方程组，运算量比较大，应该仔细计算，并且要注意通性通法的应用，加强解题的规范性.