Question

【题目】如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形，AA1⊥底面ABCD，∠BAD=120°，AB=2，E，F分别为CD，AA1的中点．

（Ⅰ）求证：DF∥平面B1AE；

（Ⅱ）若直线AD1与平面B1AE所成角的正弦值为，求AA1的长；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角B1-AE-D1的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）2

【解析】

（I）取AB1的中点G,连接FG,GE,证明四边形GEDF是平行四边形,可得DFEG,故而DF平面B1AE；

（II）建立空间坐标系,求出平面B1AE的法向量,设AA1=t（t＞0）,令sinα=|cos＜，＞|===,求出t；

（III）求出两半平面的法向量,计算法向量的夹角得出二面角的大小

（Ⅰ）证明：取AB1的中点G,连接FG,GE,

∵,FGA1B1,,DEA1B1,

∴FG=DE,FGDE,

∴GEDF是平行四边形,

∴DFEG,

又DF平面B1AE,EG平面B1AE,

∴DF平面B1AE

解：（Ⅱ）在菱形ABCD中,

∵∠BAD=120°,

∴∠ADC=60°,

∴△ACD是等边三角形,

∴AE⊥CD,

∴AE⊥AB,

又AA1⊥平面ABCD,

∴AA1⊥AB，AA1⊥AE,

以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

设AA1=t（t＞0）,

则,

∴,,

设平面B1AE的法向量=（x,y,z）,则,即,

不妨取z=-2,得=（t,0,-2）,

设直线AD1与平面B1AE所成的角为α，

则sinα=|cos＜，＞|===．

解得t=2，即AA1的长为2．

（Ⅲ）设平面D1AE的法向量=（x,y,z）,

∵,

∴,即,

不妨取z=1,得=（2,0,1）,

设二面角B1-AE-D1的平面角为θ,则|cosθ|=|cos＜＞|===

∴,即二面角B1-AE-D1的正弦值为