Question

已知数列A_n：a₁，a₂，…，a_n（n∈N^*，n≥2）满足a₁=a_n=0，且当2≤k≤n（K∈N^*）时，（a_k-a_k-1）²=1，令S（A_n）=

n

i=1

ai．
（Ⅰ）写出S（A₅）的所有可能的值；
（Ⅱ）求S（A_n）的最大值；
（Ⅲ）是否存在数列A_n，使得S（A_n）=

(n-3)2

4

？若存在，求出数列A_n；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设，即可满足条件的数列A₅的所有可能情况；
（Ⅱ）确定当c₁，c₂，…，c_n-1的前

n-1

2

项取1，后

n-1

2

项取-1时S（A_n）最大，此时S（A_n）=(n-1)+(n-2)+…+

n+1

2

-(

n-1

2

+…+2+1)=

(n-1)2

4

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，如果c₁，c₂，…，c_n-1的前

n-1

2

项中恰有t项cm1，cm2，…，cmt取-1，c₁，c₂，…，c_n-1的后

n-1

2

项中恰有t项cn1，cn2，…，cnt取1，则S(An)=

(n-1)2

4

-2

t

i=1

(ni-mi)，利用条件，分n是奇数与偶数，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）由题设，满足条件的数列A₅的所有可能情况有：
（1）0，1，2，1，0．此时S（A₅）=4；（2）0，1，0，1，0．此时S（A₅）=2；
（3）0，1，0，-1，0．此时S（A₅）=0；（4）0，-1，-2，-1，0．此时S（A₅）=-4；
（5）0，-1，0，1，0．此时S（A₅）=0；（6）0，-1，0，-1，0．此时S（A₅）=-2；
所以，S（A₅）的所有可能的值为：4，2，0，-2，-4．       …（4分）
（Ⅱ）由(ak-ak-1)2=1，
可设a_k-a_k-1=c_k-1，则c_k-1=1或c_k-1=-1（2≤k≤n，k∈N^*），
因为a_n-a_n-1=c_n-1，所以 a_n=a_n-1+c_n-1=a_n-2+c_n-2+c_n-1=…=a₁+c₁+c₂+…+c_n-2+c_n-1．
因为a₁=a_n=0，所以c₁+c₂+…+c_n-1=0，且n为奇数，c₁，c₂，…，c_n-1是由

n-1

2

个1和

n-1

2

个-1构成的数列．
所以S（A_n）=c₁+（c₁+c₂）+…+（c₁+c₂+…+c_n-1）=（n-1）c₁+（n-2）c₂+…+2c_n-2+c_n-1．
则当c₁，c₂，…，c_n-1的前

n-1

2

项取1，后

n-1

2

项取-1时S（A_n）最大，
此时S（A_n）=(n-1)+(n-2)+…+

n+1

2

-(

n-1

2

+…+2+1)=

(n-1)2

4

．
证明如下：
假设c₁，c₂，…，c_n-1的前

n-1

2

项中恰有t项cm1，cm2，…cmt取-1，则c₁，c₂，…，c_n-1的后

n-1

2

项中恰有t项cn1，cn2，…，cnt取1，其中1≤t≤

n-1

2

，1≤mi≤

n-1

2

，

n-1

2

＜ni≤n-1，i=1，2，…，t．
所以S（A_n）=(n-1)c1+(n-2)c2+…+

n+1

2

c

n-1

2

+

n-1

2

c

n+1

2

+…+2cn-2+cn-1=(n-1)+(n-2)+…+

n+1

2

-(

n-1

2

+…+2+1)-2[（n-m₁）+（n-m₂）+…+（n-m_t）]+2[（n-n₁）+（n-n₂）+…+（n-n_t）]=

(n-1)2

4

-2

t

i=1

(ni-mi)＜

(n-1)2

4

．
所以S（A_n）的最大值为

(n-1)2

4

．                             …（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，如果c₁，c₂，…，c_n-1的前

n-1

2

项中恰有t项cm1，cm2，…，cmt取-1，c₁，c₂，…，c_n-1的后

n-1

2

项中恰有t项cn1，cn2，…，cnt取1，则S(An)=

(n-1)2

4

-2

t

i=1

(ni-mi)，若S(An)=

(n-3)2

4

，则n-2=2

t

i=1

(ni-mi)，因为n是奇数，所以n-2是奇数，而2

t

i=1

(ni-mi)是偶数，因此不存在数列A_n，使得S(An)=

(n-3)2

4

．                                       …（13分）

点评：本题考查数列知识的综合运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，难度大．