Question

2．下列三个图分别是四棱锥A-BCEF的直观图、侧视图、俯视图，在直观图中，侧面ABC⊥底面BCEF，M为AC的中点，侧视图是等边三角形，俯视图是直角梯形，有关数据如图所示．
（1）求证：BM∥面AEF；
（2）求证：AE⊥BM；
（3）求该四棱锥A-BCEF的体积．

Answer 1

分析 （1）取AE的中点N，连结MN，FN，证明：四边形BMNF为平行四边形，可得FN∥BM，即可证明BM∥面AEF；
（2）证明BM⊥平面ACE，即可证明AE⊥BM；
（3）取BC的中点O，连结AO，证明AO⊥底面BCEF，即可求该四棱锥A-BCEF的体积．

解答 （1）证明：取AE的中点N，连结MN，FN
在△ACE中，∵M为AC的中点，
∴MN∥CE且MN=$\frac{1}{2}$CE=1，
∵BF∥CE，BF=$\frac{1}{2}$CE=1，
∴MN∥BF，MN=BF，
∴四边形BMNF为平行四边形，
∴FN∥BM，
∵FN?面AEF，BM?面AEF，
∴BM∥面AEF；
（2）解：∵∠BCE=90°，侧面△ABC⊥底面BCEF，
∴CE⊥平面ABC，∴CE⊥BM，
又△ABC是正三角形，M为AC的中点，∴BM⊥AC，
∵AC∩CE=C，∴BM⊥平面ACE，
∴AE⊥BM；
（3）解：取BC的中点O，连结AO，
∵△ABC是边长为2的正三角形，
∴AO⊥BC，AO=$\sqrt{3}$，
又侧面△ABC⊥底面BCEF，
∴AO⊥底面BCEF，
∴四棱锥A-BCEF的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查线面平行、垂直的判定，考查四棱锥A-BCEF的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．