Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=

2

，PB⊥PD．设点M在棱PC上，问M点在什么位置时，PC⊥平面BMD．

Answer 1

分析：先根据条件得到OD=OC=1，BO=AO=2；再建立空间直角坐标系，求出各点坐标，设出点M的坐标；结合P，M，C三点共线得到关于点M的坐标的一个等量关系；再结合PC⊥平面BMD求出关于点M的坐标的另一个等量关系即可求出点M的坐标，进而判断出其所在位置．

解答：解：∵PO⊥平面ABCD
∴PO⊥BD 
又PB⊥PD，BO=2，PO=

2

由平面几何知识得：OD=OC=1，BO=AO=2
以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则各点坐标为O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），
D（0，-1，0），P（0，0，

2

）
设M（x₀，0，z₀），
由于P，M，C三点共线，
得

PM

∥

PC

，
即(x0，0，z0-

2

) ∥(-1，0，-

2)

由对应系数成比例有z0=

2

x0 +

2

，
则M(x0，0，

2

x0+

2

)
∵PC⊥平面BMD，
∴

PC

⊥

BM

，
∴(-1，0，-

2

)•(x0，-2，

2

x0+

2

)=0
得x0=-

2

3

，
所以z0=

2

3

∴M(-

2

3

，0，

2

3

)
故

PM

MC

=2
则M点是靠近C点的三等分点．

点评：本题主要考察空间向量知识在解决线面垂直，平行中的应用问题．是对基础知识的综合考查，属于中档题目，这种方法做题的关键在于点的坐标不能出错．