Question

定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=f（x+2），当x∈[3，5]时，f（x）=2-|x-4|．下列四个不等关系：
f(sin

π

6

)＜f(cos

π

6

)；
f（sin1）＞f（cos1）；
f(cos

2π

3

)＜f(sin

2π

3

)；
f（cos2）＞f（sin2）．
其中正确的个数是

 

．

Answer 1

分析：利用已知条件可先画出函数的图象，0＜sin

π

6

＜cos

π

6

＜1，1＞sin1＞cos1＞0，-1＜cos2＜0＜sin2，0＜|cos2|＜sin2＜1，|cos

2π

3

|＜sin

2π

3

，及函数为偶函数的性质，结合函数的图象在对应区间（0，1）上的单调性可分别进行判断进行判断

解答：解：∵f（x）=f（x+2），∴函数的周期T=2
由x∈[3，5]时，f（x）=2-|x-4|可得函数的图象如下图，
结合图象可知函数在[0，1]上单调递减，函数的图象关于y 轴对称
∵0＜sin

π

6

＜cos

π

6

＜1，1＞sin1＞cos1＞0，f(cos

2π

3

)=f(-

1

2

)=f(

1

2

)，f(sin

2π

3

)=f(

3

2

)，
∵f（x）在（0，1）单调递减，故可得，f(sin

π

6

)＞f(cos

π

6

)，
f（sin1）＜f（cos1），f(

1

2

)＞f(

3

2

)即f(cos

2π

3

)＞f(sin

2π

3

)
∵-1＜cos2＜0＜sin2，∴0＜|cos2|＜sin2＜1
∴f（cos2）=f（|cos2|）＞f（sin2）
故答案为：1

点评：本题主要考查了函数的周期性与函数的对称性及函数的部分图象求解函数解析式，做出函数的图象，进而研究函数的单调性，比较函数式的大小．考查了由函数的性质做函数图象的能力．，体现了数形结合的思想在解题中的应用．