Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜?＜π），在一周期内，当x=

π

12

时，y取得最大值3，当x=

7π

12

时，y取得最小值-3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，求函数f（x）的最值及对应x的值．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得A=3，由周期T=π可求得ω=2，ω×

π

12

+φ=2kπ+

π

2

（k∈Z），0＜?＜π可求得φ，从而可得函数f（x）的解析式；
（2）利用正弦函数的单调性，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）即可求得函数f（x）的单调递增区间；
（3）x∈[-

π

4

，

π

4

]⇒2x+

π

3

∈[-

π

6

，

5π

6

]⇒f（x）=3sin（2x+

π

3

）∈[-

3

2

，3]，从而可求x∈[-

π

4

，

π

4

]时函数f（x）的最值及对应x的值．

解答：解：（1）由题设知，A=3，
周期

T

2

=

7π

12

-

π

12

=

π

2

，T=π，又ω＞0，
∴ω=

2π

π

=2，
∴f（x）=3sin（2x+φ），
又x=

π

12

时，y取得最大值3，
∴ω×

π

12

+φ=2kπ+

π

2

（k∈Z），
∴φ=2kπ+

π

3

（k∈Z），
∵0＜?＜π，
∴φ=

π

3

．
∴f（x）=3sin（2x+

π

3

）
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）．
（3）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴2x+

π

3

∈[-

π

6

，

5π

6

]
∴f（x）=3sin（2x+

π

3

）∈[-

3

2

，3]．
当2x+

π

3

=

π

2

时，即x=

π

12

时，f（x）取得最大值为3；
当2x+

π

3

=-

π

6

时，即x=-

π

4

时，f（x）取得最小值为-

3

2

．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象确定函数解析式，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．