Question

四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，BC=2CD=2，又PA=PD，∠APD=90°，E、G分别是BC、PE的中点．
（1）求证：AD⊥PE；
（2）求二面角E-AD-G的大小．

Answer 1

分析：（1）取AD的中点O，连接OP，OE，由已知中PA=PD，结合等腰三角形“三线合一”的性质，得到OP⊥AD，进而得到OE⊥AD，结合线面垂直的判定定理，得到AD⊥平面OPE，最后根据线面垂直的性质得到AD⊥PE；
（2）方法一（几何法）取OE的中点F，连接FG，OG，结合（1）中结论，可得∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角，解三角形GOE，即可得到二面角E-AD-G的大小．
方法二（向量法）以O为坐标原点，建立如图所示坐标系，分别求出平面ADG和平面EAD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角E-AD-G的大小．

解答：证明：（1）如图，取AD的中点O，连接OP，OE
∵PA=PD，∴OP⊥AD（2分）
又E是BC的中点，∴OE∥AB，∴OE⊥AD．（4分）
又OP∩OE=0，∴AD⊥平面OPE．
而PE?平面OPE，∴AD⊥PE（6分）
（2）
解法一：取OE的中点F，连接FG，OG，
则由（1）易知AD⊥OG，又OE⊥AD，
∴∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角（9分）
∵FG=

1

2

OP=

1

2

，OF=

1

2

CD=

1

2

，∴∠GOE=45°
即二面角E-AD-G的大小为45°．（12分）
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（1，0，0），D（-1，0，0），P（0，0，1），E（0，1，0）E（8分）
设平面ADG的法向量为D，由C得AB（10分）
又平面EAD的一个法向量为

OP

=(0，0，1)
又因为cos＜n，

OP

＞=

n• OP

|n|•| OP |

=

1

1• 2

=

2

2

（11分）
∴二面角E-AD-G的大小为45°．（12分）

点评：本题考查的知识点是二面觚平面角及求法，直线与平面垂直的判定与性质，其中（1）的关键是熟练掌握空间中直线与平面垂直及直线与直线垂直之间的转化关系，（2）中几何法的关系是得到∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角，而向量法的关键是求出两个半平面的法向量．